Une contrainte à deux équations

Gradients. $\nabla f={}^t(2x,2y,2z)$, $\nabla g_1={}^t(1,1,1)$, $\nabla g_2={}^t(1,-1,0)$.

Condition. $\nabla f={\lambda }_1\nabla g_1+{\lambda }_2\nabla g_2$ :

$$2x={\lambda }_1+{\lambda }_2,2y={\lambda }_1-{\lambda }_2,2z={\lambda }_1.$$

En additionnant les deux premières : $2(x+y)=2{\lambda }_1=4z$, donc $x+y=2z$.

Avec les contraintes. $x+y+z=3$ et $x+y=2z$ donnent $3z=3$, donc $z=1$ et $x+y=2$. Avec $x-y=1$ : $x=1,5$ et $y=0,5$.

Valeur. $f=2,25+0,25+1=3,5$.

Interprétation. On cherchait le point de l'intersection de deux plans — une droite — le plus proche de l'origine. C'est la projection orthogonale de l'origine sur cette droite, exactement le chapitre 9.