Une contrainte qu'on substitue

Substituer. La contrainte exprime déjà $y$ en fonction de $x$ : on reporte directement dans $f$, ce qui transforme le problème contraint à deux variables en un problème libre à une variable. $$\phi (x)=x^2+(x+3{)}^2=2x^2+6x+9.$$

Minimiser. C'est un polynôme de degré $2$ de coefficient dominant $2>0$ : il admet un minimum global là où sa dérivée ${\phi }^{\prime }(x)=4x+6$ s'annule, soit $$x=-\frac{3}{2},\text{puis}y=-\frac{3}{2}+3=\frac{3}{2}.$$

La valeur. $$\phi \left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{4}+\frac{9}{4}=\frac{9}{2}=4,5.$$

L'interprétation géométrique. $f(x,y)$ est le carré de la distance de $(x,y)$ à l'origine. On vient donc de trouver le point de la droite $y=x+3$ le plus proche de l'origine, à distance $\sqrt{4,5}=\frac{3}{\sqrt{2}}\approx 2,12$. C'est bien la distance de l'origine à cette droite, et le point trouvé est le pied de la perpendiculaire : le vecteur $\left(-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$ est orthogonal au vecteur directeur $(1,1)$ de la droite.