Une fonction quadratique

Éléments propres. $A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=7\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ et $A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$ : valeurs propres $7$ et $3$, directions orthogonales.

Base orthonormée. $e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$ et $e_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)$. Dans cette base,

$$q(h)=7h_1^2+3h_2^2.$$

Signe. Somme de carrés à coefficients strictement positifs : $q(h)>0$ pour tout $h\ne 0$. La forme est définie positive.

Vérification directe. Les coordonnées de $h$ dans la base $(e_1,e_2)$ sont $h_1=\frac{h_x+h_y}{\sqrt{2}}$ et $h_2=\frac{h_x-h_y}{\sqrt{2}}$, donc

$$7h_1^2+3h_2^2=\frac{7}{2}(h_x+h_y{)}^2+\frac{3}{2}(h_x-h_y{)}^2=5h_x^2+4h_x{h}_y+5h_y^2,$$

en développant. Les deux écritures concordent.

Attention aux facteurs $\frac{1}{\sqrt{2}}$ : les oublier donnerait $4(h_x+h_y{)}^2+(h_x-h_y{)}^2=5h_x^2+6h_x{h}_y+5h_y^2$, avec un $6$ au lieu du $4$ — le développement le dit tout de suite.