Une production sous contrainte de budget

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 10 — Recherche d'extrema · Extrema sous contrainte

Énoncé

Une entreprise produit $f (K, L) = K L$ avec un budget $2 K + 3 L = 60$ , où $K$ et $L$ sont strictement positifs. Déterminer la production maximale.

Corrigé

Multiplicateur. $\nabla f =^{t} (L, K)$ et $\nabla g =^{t} (2, 3)$ . La condition donne

$L = 2 λ, K = 3 λ,$

donc $\frac{K}{L} = \frac{3}{2}$ , soit $2 K = 3 L$ .

Avec la contrainte. $2 K + 3 L = 60$ et $2 K = 3 L$ donnent $3 L + 3 L = 60$ , donc $L = 10$ et $K = 15$ .

Production. $f (15, 10) = 150$ .

Vérification. Sur la contrainte, $K = \frac{60 - 3 L}{2}$ et

$f = \frac{( 60 - 3 L ) L}{2} = \frac{60 L - 3 L ^{2}}{2},$

parabole de sommet en $L = 10$ , de valeur $\frac{600 - 300}{2} = 150$ .

L'interprétation économique. À l'optimum, $2 K = 3 L$ : les deux facteurs sont employés jusqu'à ce que le rapport de leurs productivités marginales égale le rapport de leurs prix. C'est la condition d'égalisation, et le multiplicateur $λ = 5$ mesure le gain de production qu'apporterait un euro de budget supplémentaire.

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