Une somme de carrés déguisée

Le point critique. $${\partial }_{1}f=2x+2y-2=0,{\partial }_{2}f=2x+6y-6=0.$$ Le système s'écrit $x+y=1$ et $x+3y=3$ ; en soustrayant, $2y=2$, donc $y=1$ et $x=0$. L'unique point critique est $(0,1)$, où $f(0,1)=3-6+5=2$.

Le changement de variables. Posons $h=x$ et $k=y-1$, ce qui ramène le point critique à l'origine. En remplaçant $x=h$ et $y=k+1$ : $$f=h^2+2h(k+1)+3(k+1{)}^2-2h-6(k+1)+5.$$ On développe : $h^2+2hk+2h+3k^2+6k+3-2h-6k-6+5$, et après simplification des termes de degré $1$, qui se détruisent deux à deux : $$f(x,y)=h^2+2hk+3k^2+2.$$

La mise sous forme canonique. On regroupe les termes en $h$ : $$h^2+2hk+3k^2=(h+k{)}^2-k^2+3k^2=(h+k{)}^2+2k^2.$$ Donc, pour tout $(x,y)$, $$f(x,y)=(x+y-1{)}^2+2(y-1{)}^2+2⩾2=f(0,1).$$

Conclusion. $f$ admet en $(0,1)$ un minimum global, égal à $2$. Il est strict : l'égalité exige $y=1$ puis $x=0$.

Pourquoi c'est plus fort que le critère d'ordre 2. Celui-ci n'aurait donné qu'un minimum local. L'écriture en somme de carrés vaut, elle, en tout point du plan : elle démontre le caractère global d'un coup, et sans spectre.