Approximation d'une binomiale

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 11 — Convergences et théorème limite central · Le théorème limite central

Énoncé

Soit $X ↪ B (100; 0, 3)$ . Estimer $P ([X ⩽ 24])$ par la loi normale.

Corrigé

Moments. $E (X) = 30$ , $V (X) = 100 \times 0, 3 \times 0, 7 = 21$ , donc $σ = 21 \approx 4, 583$ .

Centrage.

$P ([X ⩽ 24]) \approx Φ (\frac{24 - 30}{4 , 583}) = Φ (- 1, 309) \approx 0, 0953.$

Valeur exacte. Le calcul binomial donne $0, 1136$ . L'écart, de $0, 018$ , vient de ce qu'on approche une loi discrète par une loi continue.

Ordre de grandeur. « Environ $10 %$ » : c'est ce qu'on retient, et c'est suffisant pour la plupart des usages.

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