Bienaymé-Tchebychev

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 11 — Convergences et théorème limite central · Les inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev

Énoncé

Soit $X$ d'espérance $50$ et d'écart-type $4$ . Majorer $P ([∣ X - 50∣ ⩾ 10])$ , puis donner un intervalle contenant $X$ avec probabilité au moins $0, 9$ .

Corrigé

Majoration. $P ([∣ X - 50∣ ⩾ 10]) ⩽ \frac{16}{100} = 0, 16$ .

Intervalle. On cherche $ε$ tel que $\frac{16}{ε ^{2}} ⩽ 0, 1$ , soit $ε^{2} ⩾ 160$ et $ε ⩾ 12, 65$ .

L'intervalle $[50 - 12, 65; 50 + 12, 65] = [37, 35; 62, 65]$ contient $X$ avec probabilité au moins $0, 9$ .

Remarque. L'intervalle fait plus de trois écarts-types de part et d'autre. Pour une loi normale, deux auraient suffi — l'universalité coûte cher.

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