Bienaymé-Tchebychev est Markov appliqué au carré

Le procédé. Markov ne s'applique qu'à une variable positive : on en fabrique une. Posons $Y=(X-E(X){)}^2$, positive, d'espérance $V(X)$ — c'est la définition de la variance.

Markov sur $Y$, au seuil $a={\epsilon }^2>0$ :

$$P([Y⩾{\epsilon }^2])⩽\frac{E(Y)}{{\epsilon }^2}=\frac{V(X)}{{\epsilon }^2}.$$

Les deux événements sont le même. $t\mapsto t^2$ est croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}$ et $|X-E(X)|⩾0$, donc $|X-E(X)|⩾\epsilon ⟺(X-E(X){)}^2⩾{\epsilon }^2$. La majoration ci-dessus est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Avec la puissance quatrième. On pose $Z=(X-E(X){)}^4⩾0$, d'espérance finie par hypothèse. Le même argument de croissance donne $[Z⩾{\epsilon }^4]=[|X-E(X)|⩾\epsilon ]$, et Markov :

$$P([|X-E(X)|⩾\epsilon ])⩽\frac{E((X-E(X){)}^4)}{{\epsilon }^4}.$$

Ce qu'on gagne. La décroissance est en ${\epsilon }^{-4}$ au lieu de ${\epsilon }^{-2}$ : pour $\epsilon$ grand, la majoration est bien meilleure. Le prix est une hypothèse plus forte, que toutes les variables n'ont pas.

Le point à retenir. Markov est la seule inégalité de base ; les autres s'en déduisent en lui donnant une variable positive bien choisie. Le travail n'est jamais dans l'inégalité, il est dans le choix de la variable.