Ce que le théorème limite central fait gagner

Les moments de la moyenne. Par linéarité $E(\overline{X_{100}})=m$, et par indépendance $$V(\overline{X_{100}})=\frac{{\sigma }^2}{100}=\frac{1}{100}=0,01.$$

Par Bienaymé-Tchebychev. La moyenne admet un moment d'ordre $2$, donc $$P([|\overline{X_{100}}-m|⩾0,2])⩽\frac{0,01}{0,2^2}=\frac{0,01}{0,04}=0,25.$$

Par le théorème limite central. La variable $X_n^{\ast }=\sqrt{100}\frac{\overline{X_{100}}-m}{1}=10(\overline{X_{100}}-m)$ suit approximativement $\mathcal{N}(0,1)$. L'événement considéré s'écrit $[|X_n^{\ast }|⩾2]$, donc $$P\simeq 2(1-\Phi (2))=2\times 0,023=0,046.$$

L'écart. $0,046$ contre $0,25$ : un facteur supérieur à $5$. Le théorème limite central est bien plus précis, ce qui est logique — il utilise la forme limite de la loi, quand Bienaymé-Tchebychev ne connaît que la variance.

Mais les deux énoncés ne disent pas la même chose. Bienaymé-Tchebychev fournit une majoration certaine, vraie pour tout $n$ et toute loi admettant une variance. Le théorème limite central fournit une approximation asymptotique : elle peut être fausse pour $n$ petit, et rien dans l'énoncé ne dit à partir de quel rang elle devient fiable — ce rang dépend de la loi de départ. On ne remplace donc pas l'une par l'autre : on choisit selon qu'on veut une garantie ou une estimation.