Centrer et réduire une moyenne

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 11 — Convergences et théorème limite central · Théorème limite central

Énoncé

Soient $X_{1}, \dots, X_{64}$ indépendantes de même loi, d'espérance $10$ et d'écart-type $2$ . Écrire la variable centrée réduite associée à $X_{64}$ , puis estimer $P ([X_{64} ⩽ 10, 5])$ . On donne $Φ (2) = 0, 977$ .

Corrigé

Les moments de la moyenne. $E (X_{64}) = 10$ et $V (X_{64}) = \frac{σ ^{2}}{n} = \frac{4}{64} = \frac{1}{16}, σ (X_{64}) = \frac{1}{4} = 0, 25.$

La variable centrée réduite. $X_{n}^{*} = n \frac{X _{n} - m}{σ} = \frac{8 ( X _{64} - 10 )}{2} = 4 (X_{64} - 10) .$ On vérifie qu'elle a bien pour espérance $0$ et pour variance $1$ .

L'estimation. Par le théorème limite central, $X_{n}^{*}$ suit approximativement la loi $N (0, 1)$ . Or $X_{64} ⩽ 10, 5 ⟺ 4 (X_{64} - 10) ⩽ 2 ⟺ X_{n}^{*} ⩽ 2.$ Donc $P ([X_{64} ⩽ 10, 5]) ≃ Φ (2) = 0, 977.$

Le contrôle de bon sens. L'écart $0, 5$ vaut deux écarts-types de la moyenne : il est peu probable de le dépasser, et l'on trouve bien une probabilité proche de $1$ .

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