Centrer et réduire une moyenne

Les moments de la moyenne. $E(\overline{X_{64}})=10$ et $$V(\overline{X_{64}})=\frac{{\sigma }^2}{n}=\frac{4}{64}=\frac{1}{16},\sigma (\overline{X_{64}})=\frac{1}{4}=0,25.$$

La variable centrée réduite. $$X_n^{\ast }=\sqrt{n}\frac{\overline{X_n}-m}{\sigma }=\frac{8(\overline{X_{64}}-10)}{2}=4(\overline{X_{64}}-10).$$ On vérifie qu'elle a bien pour espérance $0$ et pour variance $1$.

L'estimation. Par le théorème limite central, $X_n^{\ast }$ suit approximativement la loi $\mathcal{N}(0,1)$. Or $$\overline{X_{64}}⩽10,5⟺4(\overline{X_{64}}-10)⩽2⟺X_n^{\ast }⩽2.$$ Donc $$P([\overline{X_{64}}⩽10,5])\simeq \Phi (2)=0,977.$$

Le contrôle de bon sens. L'écart $0,5$ vaut deux écarts-types de la moyenne : il est peu probable de le dépasser, et l'on trouve bien une probabilité proche de $1$.