Combien de lancers pour une fréquence précise ?

Le cadre. Notons $X_i$ le résultat du $i$-ième lancer, valant $1$ pour pile et $0$ pour face. Les $X_i$ sont indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre $\frac{1}{2}$, d'espérance $m=0,5$ et de variance ${\sigma }^2=0,25$, donc $\sigma =0,5$. Et $F_n=\overline{X_n}$.

Le théorème limite central. La variable $X_n^{\ast }=\sqrt{n}\frac{F_n-0,5}{0,5}$ converge en loi vers $\mathcal{N}(0,1)$. Donc, pour $n$ grand, $$P([|F_n-0,5|⩽0,01])=P\left(\left[|X_n^{\ast }|⩽\frac{0,01\sqrt{n}}{0,5}\right]\right)\simeq 2\Phi \left(0,02\sqrt{n}\right)-1.$$

La condition. On veut $2\Phi (0,02\sqrt{n})-1⩾0,95$, soit $\Phi (0,02\sqrt{n})⩾0,975$, c'est-à-dire $$0,02\sqrt{n}⩾1,96⟺\sqrt{n}⩾98⟺n⩾9604.$$

La comparaison qui compte. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, appliquée à $F_n$ dont la variance vaut $\frac{0,25}{n}$, donnerait $$P([|F_n-0,5|⩾0,01])⩽\frac{0,25}{n\times 10^{-4}}⩽0,05⟺n⩾50000.$$ Cinq fois plus de lancers pour la même garantie.

Le prix de chaque méthode. Bienaymé-Tchebychev est exacte et valable pour tout $n$ ; le théorème limite central n'est qu'une approximation, d'autant meilleure que $n$ est grand. On paie l'universalité par un facteur $5$.