Composition par une fonction continue

La racine. $t\mapsto \sqrt{t}$ est continue sur ${\mathbb{R}}_{+}$, donc $\sqrt{\overline{X_n}}\stackrel{P}{\to }\sqrt{m}$.

L'inverse. $t\mapsto \frac{1}{t}$ est continue sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$, et $m\ne 0$ : donc $\frac{1}{\overline{X_n}}\stackrel{P}{\to }\frac{1}{m}$.

L'hypothèse $m>0$ compte. Si $m$ valait $0$, l'inverse n'aurait pas de limite — la fonction $\frac{1}{t}$ n'est pas continue en $0$. Le théorème exige la continuité au point limite.

Où cela sert. Au chapitre 12 : si $T_n$ estime $\theta$, alors $f(T_n)$ estime $f(\theta )$ pour toute $f$ continue. On fabrique ainsi des estimateurs sans effort.