Convergence en loi vers Poisson

$$P([X_n=1])=n\times \frac{2}{n}{\left(1-\frac{2}{n}\right)}^{n-1}=2{\left(1-\frac{2}{n}\right)}^{n-1}.$$

Or ${\left(1-\frac{2}{n}\right)}^n\to {\mathrm{e}}^{-2}$ et ${\left(1-\frac{2}{n}\right)}^{-1}\to 1$, donc la limite vaut $2{\mathrm{e}}^{-2}\approx 0,2707$.

La loi limite. C'est $P([X=1])$ pour $X\hookrightarrow \mathcal{P}(2)$, puisque ${\mathrm{e}}^{-2}\frac{2^1}{1!}=2{\mathrm{e}}^{-2}$.

Plus généralement, $X_n\stackrel{\mathcal{L}}{\to }\mathcal{P}(2)$.

Contrôle numérique. Pour $n=50$ : $2(1-0,04{)}^{49}\approx 0,2706$, contre $0,2707$ à la limite — un écart de $0,03\%$. La convergence est ici très rapide, bien plus que pour $P([X_n=0])$, où $(1-0,04{)}^{50}=0,1299$ contre ${\mathrm{e}}^{-2}=0,1353$ — un écart de $4\%$. La vitesse dépend de la valeur observée, pas seulement de $n$.