Convergence en probabilité

Soit $\epsilon >0$. Dès que $\frac{1}{n}<\epsilon$, c'est-à-dire pour $n>\frac{1}{\epsilon }$, les deux valeurs possibles de $X_n$ sont $<\epsilon$ en valeur absolue. Donc

$$P([|X_n-0|⩾\epsilon ])=0\text{pour tout }n>\frac{1}{\epsilon }.$$

La limite est nulle : $X_n\stackrel{P}{\to }0$.

Remarque. La probabilité ne tend pas seulement vers $0$ : elle vaut $0$ à partir d'un rang. C'est un cas particulièrement net, mais la définition n'en demande pas tant.