Converger en probabilité sans que l'espérance suive

La convergence. Soit $\epsilon >0$. Dès que $n>\epsilon$, la seule valeur de $X_n$ atteignant le seuil est $n$, donc $[|X_n-0|⩾\epsilon ]=[X_n=n]$ et

$$P([|X_n-0|⩾\epsilon ])=\frac{1}{n}\underset{n\to +\infty }{\to }0.$$

C'est vrai pour tout $\epsilon >0$ : $X_n\stackrel{P}{\to }0$.

L'espérance. $E(X_n)=n\times \frac{1}{n}=1$, pour tout $n$ : elle ne tend pas vers $0$.

La variance. $E(X_n^2)=n^2\times \frac{1}{n}=n$, donc par Koenig-Huygens $V(X_n)=n-1\to +\infty$.

Ce que l'exemple montre. Une masse de plus en plus petite — la probabilité $\frac{1}{n}$ — placée de plus en plus loin — la valeur $n$ — devient invisible pour la probabilité, et pourtant elle porte à elle seule toute l'espérance. La convergence en probabilité ne dit rien des moments, ni de leur limite ni de leur existence.

La conséquence pour le chapitre 12. La condition suffisante de convergence d'un estimateur — $E(T_n)\to g(\theta )$ et $V(T_n)\to 0$ — est suffisante, jamais nécessaire : cette suite-ci converge en violant les deux hypothèses.

Le point à retenir. Rien ne remonte de la convergence en probabilité vers les moments ; le passage se fait toujours dans l'autre sens, et c'est Bienaymé-Tchebychev qui l'assure.