D'une loi géométrique à une loi exponentielle

Le point de départ. Pour une loi géométrique de paramètre $p$ à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$, on a $P([X>k])=(1-p{)}^k$ pour tout entier $k⩾0$ : c'est l'événement « les $k$ premiers essais ont échoué ».

La variable renormalisée. Posons $Z_n=\frac{X_n}{n}$ et fixons $t>0$. Alors $$P([Z_n>t])=P([X_n>nt])=P([X_n>\lfloor nt\rfloor ])={\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{\lfloor nt\rfloor },$$ la deuxième égalité venant de ce que $X_n$ est à valeurs entières.

L'encadrement. Comme $nt-1<\lfloor nt\rfloor ⩽nt$ et que $0<1-\frac{\lambda }{n}<1$, la quantité ${\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{\lfloor nt\rfloor }$ est comprise entre ${\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{nt}$ et ${\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{nt-1}$.

La limite. Or $$nt\ln \left(1-\frac{\lambda }{n}\right)\underset{n\to +\infty }{\sim }nt\times \left(-\frac{\lambda }{n}\right)=-\lambda t,$$ donc ${\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{nt}\to {\mathrm{e}}^{-\lambda t}$, et le facteur ${\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{-1}$ tend vers $1$ : les deux bornes de l'encadrement ont la même limite ${\mathrm{e}}^{-\lambda t}$.

Conclusion. Pour tout $t>0$, $P([Z_n⩽t])\to 1-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$, et pour $t<0$ la probabilité est nulle, $Z_n$ étant positive. On reconnaît la fonction de répartition de la loi $\mathcal{E}(\lambda )$, continue sur $\mathbb{R}$ : $$\frac{X_n}{n}\stackrel{\mathcal{L}}{\to }\mathcal{E}(\lambda ).$$

L'interprétation. La loi exponentielle est la version en temps continu de la loi géométrique : attendre un succès rare, en essais très rapprochés, revient à attendre un temps exponentiel.