Deux lectures de Bienaymé-Tchebychev

La majoration. $X$ admet un moment d'ordre $2$, de variance $V(X)=5^2=25$. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\epsilon =15>0$ donne $$P([|X-100|⩾15])⩽\frac{V(X)}{15^2}=\frac{25}{225}=\frac{1}{9}\approx 0,111.$$

La minoration. L'événement $[85<X<115]$ s'écrit $[|X-100|<15]$ : c'est exactement l'événement contraire du précédent. Donc $$P([85<X<115])=1-P([|X-100|⩾15])⩾1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\approx 0,889.$$

La lecture en écarts-types. L'écart $15$ vaut exactement $3$ écarts-types. La majoration $\frac{1}{9}$ est donc un cas particulier de la règle générale : la probabilité de s'écarter de plus de $k$ écarts-types est majorée par $\frac{1}{k^2}$.

L'attention à porter au sens des inégalités. On majore la probabilité de l'écart et l'on minore celle du voisinage : passer au complémentaire retourne le sens, et c'est l'erreur la plus fréquente sur ce type de question.