Douze uniformes pour une loi normale

Les moments. Si $U\hookrightarrow \mathcal{U}([0,1])$, alors $E(U)=\frac{1}{2}$ et $V(U)=\frac{1}{12}$. Par linéarité, $E(S)=12\times \frac{1}{2}-6=0$ ; par indépendance, et le décalage ne changeant pas la variance, $V(S)=12\times \frac{1}{12}=1$.

Pourquoi $12$. La variable centrée réduite du théorème limite central pour cet échantillon est

$$\sqrt{12}\frac{\overline{U_{12}}-\frac{1}{2}}{1/\sqrt{12}}=12\left(\overline{U_{12}}-\frac{1}{2}\right)=\sum _{i=1}^{12}{U}_i-6=S.$$

Le facteur $\frac{\sqrt{n}}{\sigma }$ vaut $\sqrt{12}\times \sqrt{12}=12$, c'est-à-dire exactement $n$ : la division disparaît et il ne reste qu'une somme et un décalage entier. C'est ce choix de $n=12$ que le programme cite.

En simulation. Une ligne suffit : S = np.sum(rd.random(12)) - 6 produit une valeur approximativement $\mathcal{N}(0,1)$.

Où l'approximation lâche. $S$ prend ses valeurs dans $[-6,6]$, alors qu'une loi normale n'est bornée ni en haut ni en bas. L'ajustement est excellent au centre et faux dans les queues lointaines : on n'utilisera pas $S$ pour estimer $P([|S|⩾5])$, ni pour un quantile extrême.

Le point à retenir. Le théorème limite central ne donne qu'une convergence en loi. À $n$ fixé, il ne dit rien des queues — et c'est précisément là que les approximations se paient.