Estimer une probabilité par la loi des grands nombres

Convergences et théorème limite central · Convergence en probabilité et loi des grands nombres · niveau 2

Énoncé

On veut estimer $p = P (A)$ en répétant l'expérience $n$ fois. Soit $F_{n}$ la fréquence de $A$ . Combien de répétitions garantissent $P ([∣ F_{n} - p ∣ ⩾ 0, 01]) ⩽ 0, 05$ par Bienaymé-Tchebychev, en majorant $p (1 - p)$ par $\frac{1}{4}$ ?

Corrigé

$F_{n}$ est la moyenne de $n$ Bernoulli indépendantes, donc $V (F_{n}) = \frac{p ( 1 - p )}{n} ⩽ \frac{1}{4 n}$ .

Bienaymé-Tchebychev donne

$P ([∣ F_{n} - p ∣ ⩾ 0, 01]) ⩽ \frac{1}{4 n \times 0 , 0001} = \frac{2500}{n} .$

On veut $\frac{2500}{n} ⩽ 0, 05$ , soit $n ⩾ 50000$ .

Par le théorème limite central. On demanderait $1, 96 \times \frac{0 , 5}{n} ⩽ 0, 01$ , soit $n ⩾ 9604$ . Cinq fois moins.

Ce qu'on gagne, ce qu'on perd. Tchebychev donne une garantie certaine, valable pour tout $n$ ; le théorème limite central une garantie asymptotique, plus fine mais approchée. C'est un choix, pas une erreur.

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