L'inégalité de Markov ne peut pas être améliorée

Ce qu'on cherche. Un cas d'égalité, c'est-à-dire une variable pour laquelle la majoration de Markov est atteinte : cela prouvera qu'aucune majoration universelle plus fine ne peut exister.

La construction. Prenons $X$ à valeurs dans $\{0,a\}$, avec $$P([X=a])=p,P([X=0])=1-p.$$ Cette variable est bien positive et admet une espérance, puisqu'elle est finie.

Le calcul. $$E(X)=a\times p+0\times (1-p)=ap,P([X⩾a])=P([X=a])=p.$$ Donc $$\frac{E(X)}{a}=\frac{ap}{a}=p=P([X⩾a]).$$ L'inégalité de Markov est une égalité pour cette variable.

Ce qu'on en conclut. L'inégalité de Markov est optimale dans sa classe : il n'existe pas de constante $c<1$ telle que $P([X⩾a])⩽c\frac{E(X)}{a}$ pour toute variable positive. Autrement dit, la seule information « $X⩾0$ et $E(X)$ vaut tant » ne permet rien de mieux.

Le prix de cette généralité. L'égalité n'a lieu que pour une variable très particulière — toute la masse concentrée en $0$ et en $a$. Dès qu'une loi est étalée, Markov devient très grossière : c'est pourquoi, quand on connaît la variance, on lui préfère Bienaymé-Tchebychev.