La moyenne des carrés

La bonne suite à considérer. Posons $Y_i=U_i^2$. Les $U_i$ étant mutuellement indépendantes et de même loi, il en va de même des $Y_i$ : une fonction d'une seule variable de la famille conserve l'indépendance mutuelle (c'est le lemme des coalitions, appliqué à des paquets réduits à un élément).

Les moments de $Y_1$. Une variable uniforme sur $[0,1]$ a pour densité la fonction constante égale à $1$ sur cet intervalle, donc $$E(Y_1)=E(U_1^2)={\int }_0^1{t}^2\mathrm{d}t=\frac{1}{3},$$ $$E(Y_1^2)=E(U_1^4)={\int }_0^1{t}^4\mathrm{d}t=\frac{1}{5},V(Y_1)=\frac{1}{5}-\frac{1}{9}=\frac{4}{45}.$$ La variance existe et est finie : l'hypothèse de la loi faible des grands nombres est remplie.

Conclusion. $T_n$ est exactement la moyenne empirique $\overline{Y_n}$ d'une suite de variables indépendantes de même loi, d'espérance $\frac{1}{3}$ et de variance $\frac{4}{45}$. La loi faible des grands nombres donne $$T_n\stackrel{P}{\to }\frac{1}{3}.$$

Une majoration chiffrée. Bienaymé-Tchebychev appliquée à $T_n$, dont la variance vaut $\frac{4}{45n}$, donne pour $\epsilon =0,01$ : $$P\left(\left[\left|T_n-\frac{1}{3}\right|⩾0,01\right]\right)⩽\frac{4}{45n\times 10^{-4}}\approx \frac{889}{n},$$ qui devient inférieure à $5\%$ dès que $n⩾17778$.

Le piège évité. $T_n$ ne converge pas vers $(E(U_1){)}^2=\frac{1}{4}$ : c'est $E(U_1^2)$ qui apparaît, et il vaut $\frac{1}{3}$. L'espérance d'un carré n'est pas le carré de l'espérance — l'écart est exactement la variance.