La règle des deux écarts-types

Ce qu'on applique. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : pour tout $\epsilon >0$, $$P([|X-m|⩾\epsilon ])⩽\frac{V(X)}{{\epsilon }^2}.$$

Le choix du seuil. Prenons $\epsilon =2\sigma$, qui est bien strictement positif puisque $\sigma >0$. Comme $V(X)={\sigma }^2$ : $$P([|X-m|⩾2\sigma ])⩽\frac{{\sigma }^2}{4{\sigma }^2}=\frac{1}{4}.$$ Le ${\sigma }^2$ se simplifie : le résultat ne dépend ni de $m$, ni de $\sigma$.

Passage au complémentaire. $$P([|X-m|<2\sigma ])=1-P([|X-m|⩾2\sigma ])⩾1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.$$

Ce que cela vaut. Au moins $75\%$ de la masse d'une loi — de n'importe quelle loi admettant une variance — se trouve à moins de deux écarts-types de la moyenne. C'est peu comparé aux $95\%$ d'une loi normale, mais c'est vrai sans aucune hypothèse. À un écart-type, la majoration $\frac{1}{1^2}=1$ ne dit en revanche plus rien : l'inégalité n'a d'intérêt qu'au-delà d'un écart-type.