La variance de la moyenne empirique

La variance. Par indépendance, les variances s'ajoutent, puis le facteur $\frac{1}{n}$ intervient au carré : $$V(\overline{X_{100}})=\frac{1}{100^2}\times 100\times 9=\frac{9}{100}=0,09.$$

L'écart-type. $\sigma (\overline{X_{100}})=\sqrt{0,09}=0,3$, contre $\sigma (X_1)=3$ : moyenner cent observations divise l'écart-type par $\sqrt{100}=10$.

La majoration. Par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à $\overline{X_{100}}$, dont l'espérance est $m$ : $$P([|\overline{X_{100}}-m|⩾0,6])⩽\frac{0,09}{0,36}=0,25.$$

La lecture. Le seuil $0,6$ vaut exactement deux écarts-types de la moyenne empirique, d'où la majoration $\frac{1}{2^2}$. On retrouve la règle générale, et l'on voit à quel point la garantie universelle est prudente : sous hypothèse de normalité, la vraie probabilité serait de l'ordre de $0,05$.