Le maximum, convenablement dilaté

La fonction de répartition de $Y_n$. Par indépendance, $P([M_n⩽s])=s^n$ pour $s\in [0,1]$. Soit $t>0$ ; pour $n⩾t$, le réel $1-\frac{t}{n}$ est dans $[0,1]$ et

$$P([Y_n⩽t])=P\left(\left[M_n⩾1-\frac{t}{n}\right]\right)=1-{\left(1-\frac{t}{n}\right)}^n.$$

La limite. ${\left(1-\frac{t}{n}\right)}^n=\exp \left(n\ln \left(1-\frac{t}{n}\right)\right)$, et $\ln (1+u)\sim u$ en $0$ donne $n\ln \left(1-\frac{t}{n}\right)\to -t$. Donc $F_{Y_n}(t)\to 1-{\mathrm{e}}^{-t}$ pour $t>0$. Pour $t<0$, $F_{Y_n}(t)=0$ puisque $Y_n⩾0$, ce qui est aussi la limite voulue.

Identification. $t\mapsto 1-{\mathrm{e}}^{-t}$ sur ${\mathbb{R}}_{+}$, prolongée par $0$ avant, est la fonction de répartition de $\mathcal{E}(1)$ ; elle est continue partout, donc la convergence en tout point de continuité est acquise : $Y_n\stackrel{\mathcal{L}}{\to }\mathcal{E}(1)$.

Le point délicat. $M_n$ lui-même converge en probabilité vers $1$, donc en loi vers une constante : cette limite ne dit rien. C'est la dilatation par $n$ qui révèle la structure de l'écart au bord.

Le point à retenir. Une limite en loi intéressante s'obtient presque toujours après recentrage et changement d'échelle. Le théorème limite central est le même geste avec $\sqrt{n}$ ; ici l'échelle est $n$, parce que le maximum s'approche de sa limite bien plus vite qu'une moyenne.