Le maximum d'un échantillon exponentiel, recentré

La fonction de répartition du maximum. Un maximum est inférieur à $t$ si et seulement si toutes les variables le sont, donc par indépendance mutuelle, pour $t⩾0$ : $$P([M_n⩽t])=\prod _{i=1}^{n}P([X_i⩽t])=(1-{\mathrm{e}}^{-t}{)}^n.$$

La variable recentrée. Posons $Y_n=M_n-\ln n$ et fixons $x\in \mathbb{R}$. Pour $n$ assez grand pour que $x+\ln n⩾0$ : $$P([Y_n⩽x])=P([M_n⩽x+\ln n])=(1-{\mathrm{e}}^{-x-\ln n}{)}^n={\left(1-\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{n}\right)}^n.$$ C'est le recentrage par $\ln n$ qui fait apparaître le $\frac{1}{n}$ : sans lui, la quantité $(1-{\mathrm{e}}^{-t}{)}^n$ tendrait vers $0$ pour tout $t$ fixé, et il n'y aurait pas de limite exploitable.

Le passage à la limite. En posant $u_n={\left(1-\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{n}\right)}^n$, on écrit, pour $n$ assez grand, $$\ln u_n=n\ln \left(1-\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{n}\right)\underset{n\to +\infty }{\sim }n\times \left(-\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{n}\right)=-{\mathrm{e}}^{-x},$$ en utilisant $\ln (1+u)\sim u$ quand $u\to 0$. Donc $$\underset{n\to +\infty }{\lim }P([Y_n⩽x])=\exp (-{\mathrm{e}}^{-x}).$$

Conclusion. La fonction $G(x)=\exp (-{\mathrm{e}}^{-x})$ est continue et croissante sur $\mathbb{R}$, de limites $0$ en $-\infty$ et $1$ en $+\infty$ : c'est une fonction de répartition. La suite $(M_n-\ln n)$ converge donc en loi vers une variable de fonction de répartition $G$.

Ce qu'il faut lire. Le maximum de $n$ attentes croît comme $\ln n$, et son écart à $\ln n$ se stabilise en loi. Le record ne cesse d'augmenter, mais de plus en plus lentement.