Le maximum d'un échantillon uniforme

La loi du maximum. Pour $t\in [0,\theta ]$, $[M_n⩽t]$ est l'intersection des $[X_i⩽t]$, indépendants :

$$P([M_n⩽t])=\prod _{i=1}^n\frac{t}{\theta }={\left(\frac{t}{\theta }\right)}^n.$$

L'écart à $\theta$. On a toujours $M_n⩽\theta$, donc $|M_n-\theta |=\theta -M_n$, et pour $0<\epsilon <\theta$ :

$$P([|M_n-\theta |⩾\epsilon ])=P([M_n⩽\theta -\epsilon ])={\left(1-\frac{\epsilon }{\theta }\right)}^n.$$

La limite. $1-\frac{\epsilon }{\theta }$ appartient à $\left]0,1\right[$ : la suite géométrique tend vers $0$. Pour $\epsilon ⩾\theta$, la probabilité est nulle. Donc $M_n\stackrel{P}{\to }\theta$.

La vitesse. Ici la décroissance est géométrique. Pour $\overline{X_n}$, Bienaymé-Tchebychev n'en donne qu'une en $\frac{1}{n}$ : avec $\theta =1$, $\epsilon =0,1$ et $n=100$, la borne du maximum vaut $0,9^{100}\approx 2,7\times 10^{-5}$, quand celle de la moyenne vaut $\frac{1/12}{100\times 0,01}\approx 0,083$.

Le point à retenir. Rien n'oblige à passer par Bienaymé-Tchebychev. Quand $P([|X_n-X|⩾\epsilon ])$ se calcule exactement, on le calcule — et la vitesse obtenue est sans commune mesure avec celle d'une majoration universelle.