Le minimum d'un échantillon uniforme

Ce qu'il faut établir. Pour tout $\epsilon >0$, $P([|m_n-0|⩾\epsilon ])\to 0$.

Se ramener à une intersection. Comme $m_n⩾0$, l'événement $[|m_n|⩾\epsilon ]$ est simplement $[m_n⩾\epsilon ]$, et un minimum dépasse $\epsilon$ si et seulement si toutes les variables le dépassent : $$[m_n⩾\epsilon ]=\bigcap _{i=1}^n[X_i⩾\epsilon ].$$ C'est cette forme qu'il faut viser, car l'indépendance mutuelle factorise les intersections.

Le calcul. Fixons $\epsilon >0$. Pour $\epsilon ⩾\theta$, la probabilité est nulle et il n'y a rien à démontrer. Pour $0<\epsilon <\theta$, chaque $X_i$ étant uniforme sur $[0,\theta ]$ : $$P([X_i⩾\epsilon ])=\frac{\theta -\epsilon }{\theta }=1-\frac{\epsilon }{\theta },$$ donc par indépendance $$P([m_n⩾\epsilon ])={\left(1-\frac{\epsilon }{\theta }\right)}^n.$$

La limite. Le réel $q=1-\frac{\epsilon }{\theta }$ vérifie $0⩽q<1$, donc $q^n\to 0$. Ceci valant pour tout $\epsilon >0$, on conclut $$m_n\stackrel{P}{\to }0.$$

La vitesse. La convergence est géométrique en $n$, alors que la loi faible des grands nombres n'offre à la moyenne empirique qu'une vitesse en $1/n$ via Bienaymé-Tchebychev. Les statistiques d'ordre — minimum, maximum — convergent bien plus vite que les moyennes.