Le produit de deux suites convergentes

Ce qu'on a le droit d'employer. Les deux théorèmes d'opérations du cours : la somme de deux suites convergeant en probabilité converge vers la somme des limites, et si $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $Z_n\stackrel{P}{\to }Z$, alors $f(Z_n)\stackrel{P}{\to }f(Z)$.

L'astuce. Le produit n'est pas une opération listée par le cours, mais il s'écrit à l'aide de la somme et du carré : $$XY=\frac{(X+Y{)}^2-(X-Y{)}^2}{4}.$$ C'est cette identité qui va tout donner.

Première étape. Par le théorème de la somme, $X_n+Y_n\stackrel{P}{\to }X+Y$. De même, $-Y_n\stackrel{P}{\to }-Y$ (c'est l'image par la fonction continue $t\mapsto -t$), donc $X_n-Y_n\stackrel{P}{\to }X-Y$.

Deuxième étape. La fonction $t\mapsto t^2$ est continue sur $\mathbb{R}$, donc $$(X_n+Y_n{)}^2\stackrel{P}{\to }(X+Y{)}^2,(X_n-Y_n{)}^2\stackrel{P}{\to }(X-Y{)}^2.$$

Troisième étape. La fonction $t\mapsto -\frac{t}{4}$ étant continue, $-\frac{1}{4}(X_n-Y_n{)}^2\stackrel{P}{\to }-\frac{1}{4}(X-Y{)}^2$, et par le théorème de la somme appliqué une dernière fois : $$X_n{Y}_n=\frac{(X_n+Y_n{)}^2}{4}-\frac{(X_n-Y_n{)}^2}{4}\stackrel{P}{\to }\frac{(X+Y{)}^2-(X-Y{)}^2}{4}=XY.$$

Le point délicat. Tout repose sur le fait que la fonction $t\mapsto t^2$ est continue sur $\mathbb{R}$ tout entier. Pour le quotient, la fonction $t\mapsto 1/t$ ne l'est pas en $0$ : on ne peut conclure que $1/Y_n\stackrel{P}{\to }1/Y$ qu'en supposant la limite non nulle, hypothèse qu'on retrouvera constamment au chapitre 12.