Le théorème limite central

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 11 — Convergences et théorème limite central · Le théorème limite central

Énoncé

Une machine produit des pièces dont la longueur a pour espérance $10$ cm et pour écart-type $0, 4$ cm. On en mesure $100$ . Estimer la probabilité que la longueur moyenne s'écarte de plus de $0, 1$ cm de $10$ .

Corrigé

Écart-type de la moyenne. $σ (X_{100}) = \frac{0 , 4}{100} = 0, 04$ .

Centrage. $0, 1$ vaut $\frac{0 , 1}{0 , 04} = 2, 5$ écarts-types.

Par le théorème limite central.

$P ([∣ X_{n} - 10∣ ⩾ 0, 1]) \approx 2 (1 - Φ (2, 5)) \approx 2 \times 0, 0062 = 0, 0124.$

Environ $1, 2 %$ .

Par Tchebychev, pour comparer. $\frac{0 , 0016}{0 , 01} = 0, 16$ , soit $16 %$ — treize fois plus. On mesure ici ce qu'apporte l'hypothèse « $n$ grand ».

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