Les deux convergences ne coïncident pas

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 11 — Convergences et théorème limite central · Convergence en loi

Énoncé

Soit $X$ de loi $N (0, 1)$ et $X_{n} = - X$ pour tout $n$ . Montrer que $X_{n} L X$ mais que $(X_{n})$ ne converge pas en probabilité vers $X$ .

Corrigé

Convergence en loi. La loi $N (0, 1)$ est symétrique : $- X$ a la même loi que $X$ . Donc $F_{X_{n}} = F_{X}$ pour tout $n$ , et la convergence en loi est immédiate — les fonctions de répartition sont même égales.

Pas en probabilité. $∣ X_{n} - X ∣ = ∣ - X - X ∣ = 2∣ X ∣$ , qui ne dépend pas de $n$ . Pour $ε = 1$ :

$P ([∣ X_{n} - X ∣ ⩾ 1]) = P ([∣ X ∣ ⩾ 0, 5]) = 2 (1 - Φ (0, 5)) \approx 0, 617,$

constante et non nulle. La limite n'est pas $0$ .

La morale. La convergence en loi ne dit rien sur le rapprochement des variables elles-mêmes : elle ne regarde que leur distribution. Les deux notions sont bien distinctes, et l'implication ne va que dans un sens.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.