Les deux convergences ne coïncident pas

Convergences et théorème limite central · Convergence en loi · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $X$ de loi $N (0, 1)$ et $X_{n} = - X$ pour tout $n$ . Montrer que $X_{n} L X$ mais que $(X_{n})$ ne converge pas en probabilité vers $X$ .

Corrigé

Convergence en loi. La loi $N (0, 1)$ est symétrique : $- X$ a la même loi que $X$ . Donc $F_{X_{n}} = F_{X}$ pour tout $n$ , et la convergence en loi est immédiate — les fonctions de répartition sont même égales.

Pas en probabilité. $∣ X_{n} - X ∣ = ∣ - X - X ∣ = 2∣ X ∣$ , qui ne dépend pas de $n$ . Pour $ε = 1$ :

$P ([∣ X_{n} - X ∣ ⩾ 1]) = P ([∣ X ∣ ⩾ 0, 5]) = 2 (1 - Φ (0, 5)) \approx 0, 617,$

constante et non nulle. La limite n'est pas $0$ .

La morale. La convergence en loi ne dit rien sur le rapprochement des variables elles-mêmes : elle ne regarde que leur distribution. Les deux notions sont bien distinctes, et l'implication ne va que dans un sens.

Énoncé

Corrigé

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