Loi des grands nombres appliquée

Convergences et théorème limite central · Convergence en probabilité et loi des grands nombres · niveau 2

Énoncé

On lance un dé équilibré $n$ fois et on note $X_{n}$ la moyenne des résultats. Vers quoi converge-t-elle ? Majorer $P ([∣ X_{n} - 3, 5∣ ⩾ 0, 1])$ pour $n = 1000$ .

Corrigé

Limite. $E (X) = 3, 5$ , donc $X_{n} P 3, 5$ .

Variance d'un dé. $E (X^{2}) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}$ , donc $V (X) = \frac{91}{6} - 3, 5^{2} = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12} \approx 2, 9167$ .

Majoration. $V (X_{1000}) = \frac{35}{12000}$ , et

$P ([∣ X_{n} - 3, 5∣ ⩾ 0, 1]) ⩽ \frac{35/12000}{0 , 01} = \frac{35}{120} \approx 0, 2917.$

Par le théorème limite central. $σ (X_{n}) = 35/12000 \approx 0, 054$ , et $0, 1$ vaut $1, 85$ écart-type : la vraie probabilité est de l'ordre de $0, 064$ . Tchebychev majore quatre fois trop haut.

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