Markov appliqué à une fonction croissante

Ce qu'on emploie. L'inégalité de Markov, appliquée non pas à $X$ — qui n'est pas supposée positive — mais à la variable $Y=\phi (X)$, qui l'est.

Une inclusion d'événements. $\phi$ étant croissante, $X⩾a$ entraîne $\phi (X)⩾\phi (a)$, donc $$[X⩾a]\subset [\phi (X)⩾\phi (a)].$$ La croissance de la probabilité donne alors $$P([X⩾a])⩽P([\phi (X)⩾\phi (a)]).$$

Markov sur $Y$. La variable $Y=\phi (X)$ est positive et admet une espérance par hypothèse, et le seuil $\phi (a)$ est strictement positif. Donc $$P([Y⩾\phi (a)])⩽\frac{E(Y)}{\phi (a)}=\frac{E(\phi (X))}{\phi (a)}.$$ En composant les deux inégalités, on obtient le résultat annoncé.

Une application. Prenons $\phi (t)=t^2$ sur ${\mathbb{R}}_{+}$ et $X$ positive admettant un moment d'ordre $2$. Pour $a>0$ : $$P([X⩾a])⩽\frac{E(X^2)}{a^2},$$ majoration parfois bien meilleure que $\frac{E(X)}{a}$ : pour $X$ de loi exponentielle de paramètre $1$ et $a=4$, elle donne $\frac{2}{16}=0,125$ contre $0,25$.

Le mécanisme général. C'est exactement celui qui fait passer de Markov à Bienaymé-Tchebychev — on applique Markov à $|X-E(X){|}^2$ — et il se prolonge à toute puissance paire, ou même à $\phi (t)={\mathrm{e}}^{st}$. Une seule inégalité, autant de conséquences que de fonctions croissantes.