Markov sur un temps d'attente

Les hypothèses. $X$ est positive et admet une espérance : l'inégalité de Markov s'applique.

L'application. Avec $a=20>0$ : $$P([X⩾20])⩽\frac{E(X)}{20}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}.$$ On attend donc au moins $20$ minutes dans au plus $25\%$ des cas.

Ce qui rend le résultat remarquable. On ne connaît rien de la loi de $X$ : ni sa forme, ni sa variance. La seule espérance suffit à borner la queue.

Ce qui en fait la faiblesse. La majoration est très grossière dès que la loi est étalée. Si $X$ suivait une loi exponentielle d'espérance $5$, la valeur exacte serait ${\mathrm{e}}^{-4}\approx 0,018$, soit quatorze fois moins. Connaître la variance permettrait déjà de faire mieux, avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.