Trois majorations pour une même queue

Les moments. Pour une loi exponentielle de paramètre $1$, $E(X)=1$ et $V(X)=1$.

Par Markov. $X$ est positive et admet une espérance, donc pour $a=4$ : $$P([X⩾4])⩽\frac{E(X)}{4}=\frac{1}{4}=0,25.$$

Par Bienaymé-Tchebychev. $X$ admet un moment d'ordre $2$. L'événement $[X⩾4]$ est contenu dans $[|X-1|⩾3]$, donc $$P([X⩾4])⩽P([|X-1|⩾3])⩽\frac{V(X)}{3^2}=\frac{1}{9}\approx 0,111.$$ Le passage par l'inclusion est le point délicat : Bienaymé-Tchebychev majore la probabilité des deux queues, alors qu'on n'en veut qu'une.

La valeur exacte. $$P([X⩾4])={\mathrm{e}}^{-4}\approx 0,0183.$$

Le classement. $0,0183<0,111<0,25$ : les deux majorations sont correctes, la seconde est plus fine que la première, et l'écart à la vérité reste considérable — un facteur $6$ pour Bienaymé-Tchebychev, un facteur $14$ pour Markov.

Ce qu'il faut en retenir. Ces inégalités ne servent pas à calculer une probabilité, mais à la majorer sans rien connaître de la loi. Dès que la loi est connue, on calcule.