mathématiques approfondies (ECG 2e année) · Chapitre 11 · Exercice d'entraînement

Trois majorations pour une même queue

Convergences et théorème limite central · Les inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev · niveau 2

Énoncé

Soit $X$ de loi exponentielle de paramètre $1$ . Majorer $P ([X ⩾ 4])$ par l'inégalité de Markov, puis par celle de Bienaymé-Tchebychev, et comparer à la valeur exacte.

Pour démarrer : comment l'IA t'aide

Élève

Markov s'applique directement puisque $X$ est positive. Pour Bienaymé-Tchebychev, l'inégalité porte sur $P (∣ X - E (X) ∣ \geq ε)$ , alors qu'on me demande $P (X \geq 4)$ , qui n'a pas cette forme. Je ne vois pas comment l'appliquer.

Les deux événements n'ont pas besoin d'être égaux : on cherche seulement une majoration. Avec $E (X) = 1$ , comment se traduit $X \geq 4$ en termes d'écart à l'espérance, et quel lien logique y a-t-il entre $[X \geq 4]$ et un événement de la forme $[∣ X - 1∣ \geq ε]$ ?

Élève

Si $X \geq 4$ , alors $X - 1 \geq 3$ , donc $∣ X - 1∣ \geq 3$ : l'événement $[X \geq 4]$ est inclus dans $[∣ X - 1∣ \geq 3]$ . Une inclusion me suffit, alors, sans égalité ?

Oui : l'inclusion donne l'inégalité entre les probabilités, et c'est tout ce qu'il faut pour majorer. Avant de calculer, quelle information supplémentaire sur $X$ Bienaymé-Tchebychev utilise-t-il par rapport à Markov, et laquelle des deux bornes t'attends-tu à trouver la plus fine ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

Continue cet exercice avec l'IA

Reprends l'exercice là où le dialogue s'arrête.

Continuer avec l'IA — gratuit, sans inscription

Gratuit, sans inscription. L'IA te guide pas à pas, sans te donner la réponse.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Continuer avec l'IA, gratuit →