Une binomiale par la loi normale

Les moments. Pour une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ : $$E(X)=np=400\times 0,5=200,V(X)=np(1-p)=400\times 0,25=100,$$ donc $\sigma (X)=10$.

L'approximation. $X$ est la somme de $400$ variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre ; le théorème limite central justifie d'approcher $\mathcal{B}(400;0,5)$ par $\mathcal{N}(200,100)$. Ici $n$ est grand et $p$ n'est pas voisin de $0$ ni de $1$ : l'approximation est excellente.

Le calcul. En centrant et réduisant, $$P([X⩽210])=P\left(\left[\frac{X-200}{10}⩽1\right]\right)\simeq \Phi (1)=0,841.$$

Deux remarques. D'abord, on additionne les variances, jamais les écarts-types : $\sigma =\sqrt{100}=10$, et non $400\times 0,5$. Ensuite, $210$ est à un écart-type au-dessus de la moyenne — la valeur $0,841$ est celle qu'il faut connaître par cœur, avec $0,977$ à deux écarts-types et $0,999$ à trois.