Une fréquence converge vers une probabilité

Le modèle. Notons $X_i$ la variable valant $1$ si le $i$-ième lancer donne un six, et $0$ sinon. Les lancers étant indépendants, les $X_i$ sont indépendantes, de même loi de Bernoulli de paramètre $p=\frac{1}{6}$, d'espérance $E(X_1)=\frac{1}{6}$ et de variance $V(X_1)=\frac{1}{6}\times \frac{5}{6}=\frac{5}{36}$.

La fréquence est une moyenne. Le nombre de six obtenus vaut ${\sum }_{i=1}^n{X}_i$, donc $$F_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i=\overline{X_n}.$$ C'est le point à voir : une fréquence n'est rien d'autre que la moyenne empirique d'une suite de variables de Bernoulli.

La conclusion. La loi faible des grands nombres s'applique — variables indépendantes de même loi, d'espérance et de variance finies — et donne $$F_n\stackrel{P}{\to }\frac{1}{6}\approx 0,167.$$

Ce que cela justifie. C'est l'énoncé qui légitime toute la statistique empirique : estimer une probabilité inconnue par la fréquence observée. Et $V(F_n)=\frac{5}{36n}$ donne la vitesse — l'écart-type décroît en $1/\sqrt{n}$, donc il faut cent fois plus de lancers pour gagner un facteur dix sur la précision.