Une loi de Poisson approchée

La décomposition. Une somme de $100$ variables indépendantes de loi de Poisson de paramètre $1$ suit la loi de Poisson de paramètre $100$. On peut donc écrire $X=Y_1+\cdots +Y_{100}$, où les $Y_i$ sont indépendantes, de même loi de Poisson de paramètre $1$, d'espérance $m=1$ et de variance ${\sigma }^2=1$.

Le théorème limite central. Il s'applique : les $Y_i$ sont indépendantes, de même loi, d'espérance et de variance finies avec ${\sigma }^2\ne 0$. Pour $n=100$, $$X_n^{\ast }=\sqrt{100}\frac{\overline{Y_n}-1}{1}=\frac{X-100}{10}$$ suit approximativement la loi $\mathcal{N}(0,1)$ — on retrouve la règle usuelle d'approximation de $\mathcal{P}(\lambda )$ par $\mathcal{N}(\lambda ,\lambda )$ pour $\lambda$ grand.

Le calcul. $$P([X⩽110])=P\left(\left[\frac{X-100}{10}⩽1\right]\right)\simeq \Phi (1)=0,841.$$

Deux remarques de méthode. D'abord, on additionne bien les variances : ici $E(X)=V(X)=100$, donc l'écart-type vaut $10$ et non $100$. Ensuite, $X$ est une variable discrète approchée par une variable à densité ; le résultat est une estimation, et l'énoncé d'un concours fournirait la justification de l'approximation, comme le programme l'exige.

Le contrôle de bon sens. $110$ est à un écart-type au-dessus de la moyenne : on attend une probabilité proche de $0,84$, ce que l'on trouve.