Une suite qui s'écrase sur un point

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 11 — Convergences et théorème limite central · Convergence en loi

Énoncé

Pour $n ⩾ 1$ , soit $X_{n}$ de loi uniforme sur $[0, \frac{1}{n}]$ . Déterminer la limite en loi de la suite $(X_{n})$ , puis dire si elle converge aussi en probabilité.

Corrigé

Les fonctions de répartition. Pour $x < 0$ , $F_{X_{n}} (x) = 0$ ; pour $x ⩾ \frac{1}{n}$ , $F_{X_{n}} (x) = 1$ ; et pour $0 ⩽ x < \frac{1}{n}$ , $F_{X_{n}} (x) = n x$ .

La limite ponctuelle. Fixons $x$ .

Si $x < 0$ : $F_{X_{n}} (x) = 0$ pour tout $n$ , donc la limite est $0$ .
Si $x > 0$ : dès que $n > \frac{1}{x}$ , on a $x ⩾ \frac{1}{n}$ et $F_{X_{n}} (x) = 1$ ; la limite est $1$ .
Si $x = 0$ : $F_{X_{n}} (0) = 0$ pour tout $n$ , donc la limite est $0$ .

La loi limite. Soit $X$ la variable certaine égale à $0$ , de fonction de répartition $F_{X} (x) = 0$ pour $x < 0$ et $1$ pour $x ⩾ 0$ . Les limites ci-dessus coïncident avec $F_{X}$ en tout $x \neq = 0$ , c'est-à-dire en tout point où $F_{X}$ est continue — le point $0$ , seul point de discontinuité, est exclu par la définition. Donc $X_{n} L 0.$

Et en probabilité. Oui. Pour $ε > 0$ et $n > \frac{1}{ε}$ , la variable $X_{n}$ est à valeurs dans $[0, \frac{1}{n}]$ , donc $P ([∣ X_{n} ∣ ⩾ ε]) = 0.$ La probabilité est nulle à partir d'un certain rang : elle tend vers $0$ .

Ce que l'exemple montre. La convergence en probabilité entraîne toujours la convergence en loi ; la réciproque est fausse en général, mais vraie lorsque la limite est une constante. C'est le seul cas où les deux notions se rejoignent.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.