Vers quoi converge la moyenne ?

Les moments de la loi uniforme. Pour la loi uniforme sur $[a,b]$, $$E(X_1)=\frac{a+b}{2}=\frac{0+4}{2}=2,V(X_1)=\frac{(b-a{)}^2}{12}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}.$$

La loi faible des grands nombres. Les $X_i$ sont indépendantes, de même loi, d'espérance $2$ et de variance $\frac{4}{3}$ finie. Donc $$\overline{X_n}\stackrel{P}{\to }2.$$

La variance de la moyenne. Par indépendance, $$V(\overline{X_n})=\frac{V(X_1)}{n}=\frac{4}{3n},$$ qui tend vers $0$. C'est précisément ce qui, via Bienaymé-Tchebychev, démontre la convergence.

Une majoration chiffrée. Pour $n=1200$ et $\epsilon =0,1$ : $$P([|\overline{X_n}-2|⩾0,1])⩽\frac{4}{3\times 1200\times 0,01}\approx 0,111.$$ Il faut environ $1200$ tirages pour que la moyenne soit à $0,1$ près dans près de neuf cas sur dix — un ordre de grandeur qu'il est utile d'avoir en tête.