Comparer deux estimateurs

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 12 — Estimation · Biais, variance et convergence

Énoncé

Soit $(X_{1}, \dots, X_{n})$ un $n$ -échantillon d'espérance $m$ . On pose $T_{n} = X_{n}$ et $T_{n}^{'} = \frac{X _{1} + X _{n}}{2}$ . Les deux sont-ils sans biais ? Lequel préférer ?

Corrigé

Biais. $E (T_{n}^{'}) = \frac{m + m}{2} = m$ : les deux sont sans biais.

Variances. $V (T_{n}) = \frac{σ ^{2}}{n}$ et $V (T_{n}^{'}) = \frac{2 σ ^{2}}{4} = \frac{σ ^{2}}{2}$ .

Lequel. $T_{n}$ , dès que $n > 2$ : sa variance est plus petite.

Et la convergence ? $V (T_{n}^{'}) = \frac{σ ^{2}}{2}$ ne tend pas vers $0$ : la suite $(T_{n}^{'})$ n'est pas convergente. Elle est sans biais et pourtant inutilisable — deux observations ne suffiront jamais, quel que soit le nombre de données recueillies.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.