Convergent par les deux limites

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 12 — Estimation · Sans biais et convergent

Énoncé

Une suite d'estimateurs $(T_{n})$ de $θ$ vérifie $E (T_{n}) = θ + \frac{1}{n}$ et $V (T_{n}) = \frac{5}{n}$ . Montrer que $(T_{n})$ est une suite convergente d'estimateurs de $θ$ .

Corrigé

Le résultat employé. La condition suffisante de convergence du cours : si $n \to + \infty lim E (T_{n}) = θ et n \to + \infty lim V (T_{n}) = 0,$ alors $(T_{n})$ converge en probabilité vers $θ$ , c'est-à-dire est une suite convergente d'estimateurs de $θ$ .

Vérification de la première limite. $E (T_{n}) = θ + \frac{1}{n} \to θ$ : l'estimateur est asymptotiquement sans biais.

Vérification de la seconde. $V (T_{n}) = \frac{5}{n} \to 0$ : la dispersion s'efface.

Conclusion. Les deux hypothèses sont réunies pour toute valeur de $θ$ , donc $(T_{n})$ est convergente.

Ce que la démonstration cache. Elle repose sur l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à $T_{n}$ : l'écart à $E (T_{n})$ devient improbable parce que la variance s'annule, et $E (T_{n})$ se recale sur $θ$ parce que le biais s'annule. Deux mouvements simultanés, et il faut les deux : un estimateur de variance nulle mais biaisé converge vers la mauvaise valeur, et un estimateur sans biais de variance constante ne converge pas du tout.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.