Convergent sans être sans biais, et l'inverse

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 12 — Estimation · Suites convergentes d'estimateurs

Énoncé

Soit $(X_{1}, \dots, X_{n})$ un $n$ -échantillon d'espérance $m$ et de variance $σ^{2} > 0$ . On pose $A_{n} = X_{n} + \frac{1}{n}$ et $B_{n} = X_{1}$ . Étudier le biais et la convergence de chacune de ces deux suites d'estimateurs de $m$ .

Corrigé

La suite $(A_{n})$ : biaisée mais convergente.

Biais. Par linéarité, $E (A_{n}) = m + \frac{1}{n}$ , donc le biais vaut $b (A_{n}) = \frac{1}{n} \neq = 0$ : $A_{n}$ n'est pas sans biais. Il est en revanche asymptotiquement sans biais, puisque $E (A_{n}) \to m$ .

Convergence. L'ajout d'une constante ne change pas la variance : $V (A_{n}) = V (X_{n}) = \frac{σ ^{2}}{n} n \to + \infty 0.$ Les deux hypothèses de la condition suffisante sont réunies — $E (A_{n}) \to m$ et $V (A_{n}) \to 0$ — donc $(A_{n})$ est une suite convergente d'estimateurs de $m$ .

La suite $(B_{n})$ : sans biais mais non convergente.

Biais. $E (B_{n}) = E (X_{1}) = m$ pour tout $n$ : $B_{n}$ est un estimateur sans biais de $m$ , et cela ne dépend même pas de $n$ .

Convergence. $V (B_{n}) = σ^{2}$ pour tout $n$ : la variance ne tend pas vers $0$ , et la condition suffisante ne s'applique pas. Mieux, on peut conclure négativement : si $B_{n}$ convergeait en probabilité vers $m$ , la dispersion de $X_{1}$ autour de $m$ deviendrait arbitrairement improbable, ce qui est faux puisque la loi de $B_{n}$ ne change pas avec $n$ . Concrètement, $P ([∣ X_{1} - m ∣ ⩾ ε])$ est un nombre fixe, strictement positif dès que $ε$ est assez petit, puisque $σ^{2} > 0$ . Il ne tend donc pas vers $0$ : la suite n'est pas convergente.

Ce que les deux exemples démontrent. Absence de biais et convergence sont deux qualités indépendantes : aucune n'entraîne l'autre. Un bon estimateur doit viser juste à la limite et se resserrer — et c'est exactement ce que demande la condition suffisante du cours, qui exige les deux.

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