Deux estimateurs du même paramètre

Les moments de la loi de Poisson. Pour $X$ de loi de Poisson de paramètre $\lambda$, on a $E(X)=\lambda$ et $V(X)=\lambda$. La particularité de cette loi est que l'espérance et la variance coïncident — c'est elle qui va fournir un second estimateur.

Premier estimateur. Par linéarité de l'espérance, $$E\left(\overline{X_n}\right)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}E(X_i)=\lambda ,$$ et ceci pour tout $\lambda >0$ : $\overline{X_n}$ est sans biais. Les $X_i$ étant indépendantes, $$V\left(\overline{X_n}\right)=\frac{V(X_1)}{n}=\frac{\lambda }{n}.$$

Second estimateur. Puisque $\lambda$ est aussi la variance, on peut l'estimer par la variance empirique corrigée $$T_n=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X_n}{)}^2,$$ dont on sait qu'elle est un estimateur sans biais de la variance d'un échantillon, donc ici de $\lambda$.

Lequel choisir. Les deux sont sans biais : c'est la variance qui les départage, le programme excluant toute comparaison par une quantité mélangeant biais et variance. Or $V(\overline{X_n})=\lambda /n$ est petite, alors que $T_n$ fait intervenir des carrés d'écarts, donc les moments d'ordre $4$ de la loi : sa variance est bien plus grande. On préfère la moyenne empirique.

Ce que l'exercice illustre. Un même paramètre admet en général plusieurs estimateurs sans biais. Le fait de ne pas se tromper en moyenne ne suffit donc jamais à choisir : il faut regarder la dispersion.