Dimensionner un sondage pour départager

Ce qu'il faut obtenir. L'intervalle asymptotique au niveau $95\%$ pour une proportion, avec la majoration $p(1-p)⩽\frac{1}{4}$, s'écrit $$\left[F_n-\frac{1,96\times 0,5}{\sqrt{n}},F_n+\frac{1,96\times 0,5}{\sqrt{n}}\right]=\left[F_n\pm \frac{0,98}{\sqrt{n}}\right].$$ Pour conclure que $p>0,5$, il faut que la borne inférieure dépasse $0,5$ lorsque $F_n=0,53$.

La condition. $$0,53-\frac{0,98}{\sqrt{n}}>0,5⟺\frac{0,98}{\sqrt{n}}<0,03⟺\sqrt{n}>\frac{0,98}{0,03}\approx 32,67.$$ D'où $$n>1067,1,\text{soit}n⩾1068.$$

Le contrôle. Pour $n=1068$, la demi-largeur vaut $\frac{0,98}{\sqrt{1068}}\approx 0,0300$, et l'intervalle $[0,500;0,560]$ effleure $0,5$ ; pour $n=1100$ elle tombe à $0,0295$ et la conclusion est nette.

Ce que la réponse enseigne. Un sondage à $1000$ personnes donne une marge d'environ $3$ points, quelle que soit la taille de la population interrogée — seul $n$ compte, pas la proportion qu'il représente. Et pour ramener la marge à $1$ point, il faudrait $n\approx 9600$ : neuf fois plus de monde pour trois fois moins d'incertitude.