Estimer la médiane d'une loi exponentielle

La médiane. C'est le réel $\mu$ tel que $F(\mu )=\frac{1}{2}$, où $F(t)=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$ pour $t⩾0$. On résout $$1-{\mathrm{e}}^{-\lambda \mu }=\frac{1}{2}⟺{\mathrm{e}}^{-\lambda \mu }=\frac{1}{2}⟺\mu =\frac{\ln 2}{\lambda }.$$

Le lien avec l'espérance. Or $E(X_1)=\frac{1}{\lambda }$, donc $$\mu =\ln 2\times E(X_1).$$ La médiane est un multiple constant de l'espérance : c'est ce qui va rendre l'estimation immédiate.

L'estimateur. Posons $T_n=\ln 2\times \overline{X_n}$.

Sans biais. Par linéarité, $E(T_n)=\ln 2\times E(\overline{X_n})=\frac{\ln 2}{\lambda }=\mu$, et ceci pour tout $\lambda >0$.

Convergent. Par indépendance, $$V(T_n)=(\ln 2{)}^{2}V(\overline{X_n})=(\ln 2{)}^2\frac{V(X_1)}{n}=\frac{(\ln 2{)}^2}{n{\lambda }^2}\underset{n\to +\infty }{\to }0.$$ Comme de plus $E(T_n)=\mu$ pour tout $n$, la condition suffisante de convergence du cours s'applique : $(T_n)$ est une suite convergente d'estimateurs de $\mu$.

La différence avec l'estimation de $\lambda$. Pour estimer $\lambda$ lui-même, il faudrait passer par $\frac{1}{\overline{X_n}}$ : le transport par la fonction continue $t\mapsto 1/t$ donne bien la convergence, mais détruit l'absence de biais. Ici la transformation est affine, et l'espérance passe au travers sans dommage. C'est toute la différence.