Estimer le demi-intervalle d'une loi symétrique

Pourquoi la moyenne ne sert à rien. La loi uniforme sur $[-\theta ,\theta ]$ a pour espérance $\frac{-\theta +\theta }{2}=0$, quelle que soit la valeur de $\theta$. Donc $E(\overline{X_n})=0$ : la moyenne empirique est un estimateur sans biais de $0$, et sa cible ne dépend pas du paramètre. Elle ne contient aucune information sur $\theta$.

Le bon moment. Il faut viser une quantité qui, elle, dépend de $\theta$. La variance de la loi uniforme sur $[a,b]$ vaut $\frac{(b-a{)}^2}{12}$, donc ici $$V(X_1)=\frac{(2\theta {)}^2}{12}=\frac{{\theta }^2}{3},$$ et comme $E(X_1)=0$, la formule de Huygens donne $$E\left(X_1^2\right)=V(X_1)+E(X_1{)}^2=\frac{{\theta }^2}{3}.$$ On peut aussi le calculer directement : ${\int }_{-\theta }^{\theta }\frac{t^2}{2\theta }\mathrm{d}t=\frac{1}{2\theta }[\frac{t^3}{3}{]}_{-\theta }^{\theta }=\frac{{\theta }^2}{3}$.

L'estimateur. Par linéarité de l'espérance, et les $X_i$ ayant toutes la même loi : $$E(T_n)=\frac{3}{n}\sum _{i=1}^{n}E\left(X_i^2\right)=\frac{3}{n}\times n\times \frac{{\theta }^2}{3}={\theta }^2,$$ et ceci pour tout $\theta >0$ : $T_n$ est un estimateur sans biais de ${\theta }^2$.

Et pour $\theta$ lui-même ? La fonction $t\mapsto \sqrt{t}$ étant continue sur ${\mathbb{R}}_{+}$, si $(T_n)$ est une suite convergente d'estimateurs de ${\theta }^2$, alors $\left(\sqrt{T_n}\right)$ est une suite convergente d'estimateurs de $\theta$ — c'est le théorème de transport. En revanche, $\sqrt{T_n}$ n'a aucune raison d'être sans biais : en général $E\left(\sqrt{T_n}\right)\ne \sqrt{E(T_n)}$. Le transport conserve la convergence, jamais l'absence de biais.