Estimer le paramètre d'une loi exponentielle

Ce que la moyenne estime. Pour une loi exponentielle, $E(X)=\frac{1}{\lambda }$ et $V(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$. Donc $\overline{X_n}$ est un estimateur sans biais de $\frac{1}{\lambda }$, de variance $\frac{1}{n{\lambda }^2}\to 0$, et la condition suffisante donne $\overline{X_n}\stackrel{P}{\to }\frac{1}{\lambda }$. Elle estime l'inverse du paramètre, non le paramètre.

Le transport. $t\mapsto \frac{1}{t}$ est continue sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$, auquel $\frac{1}{\lambda }$ appartient. Le théorème de transport donne donc

$$T_n=\frac{1}{\overline{X_n}}\stackrel{P}{\to }\lambda ,$$

une suite convergente d'estimateurs de $\lambda$.

Le biais. Rien ne le rend nul, car $E(f(T_n))\ne f(E(T_n))$ en général. Pour $n=1$ c'est même pire : l'espérance n'existe pas, puisque

$${\int }_0^{+\infty }\frac{1}{x}\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x}\mathrm{d}x$$

a un intégrande équivalent à $\frac{\lambda }{x}$ en $0$, où ${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{x}$ diverge. Parler du biais de $\frac{1}{X_1}$ n'a pas de sens.

Ce qu'il faut en tirer. La convergence, elle, ne demande rien de tel : sa définition ne fait intervenir que des probabilités, jamais une intégrale. C'est pourquoi le transport s'applique si largement là où le calcul d'un biais échoue.

Le point à retenir. On estime une fonction du paramètre en composant l'estimateur du paramètre par cette fonction. Le prix est le biais — et parfois la disparition pure et simple de l'espérance.