Estimer le paramètre d'une loi géométrique

Les moments. Pour la loi géométrique de paramètre $p$ à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$, $$E(X_1)=\frac{1}{p},V(X_1)=\frac{1-p}{p^2}.$$

Un estimateur de $1/p$. La moyenne empirique $\overline{X_n}$ est sans biais pour $\frac{1}{p}$, et sa variance $\frac{1-p}{n{p}^2}$ tend vers $0$ : c'est une suite convergente d'estimateurs de $\frac{1}{p}$.

Le passage à $p$. La fonction $f:t\mapsto \frac{1}{t}$ est continue sur $\left]0,+\infty \right[$, et $\frac{1}{p}$ y appartient. Par le théorème de transport par une fonction continue, $$T_n=\frac{1}{\overline{X_n}}$$ est une suite convergente d'estimateurs de $f\left(\frac{1}{p}\right)=p$. (La variable $\overline{X_n}$ est strictement positive, les $X_i$ étant à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$ : le quotient a toujours un sens.)

Est-elle sans biais ? Non, en général. L'espérance ne commute pas avec une fonction non affine : $$E\left(\frac{1}{\overline{X_n}}\right)\ne \frac{1}{E(\overline{X_n})}=p.$$ Un exemple à deux valeurs suffit à s'en convaincre : si $Y$ vaut $1$ ou $2$ avec probabilité $\frac{1}{2}$ chacune, alors $E(Y)=\frac{3}{2}$ tandis que $$E\left(\frac{1}{Y}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}\ne \frac{1}{E(Y)}=\frac{2}{3}.$$

La règle à retenir. Le transport par une fonction continue conserve la convergence ; il ne conserve l'absence de biais que si la fonction est affine. C'est l'avertissement le plus utile du chapitre.