Estimer une variance

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 12 — Estimation · Estimateurs dérivés d'un autre

Énoncé

Soit $(X_{1}, \dots, X_{n})$ un $n$ -échantillon de variance $σ^{2}$ et d'espérance $m$ connue. Montrer que $T_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - m)^{2}$ est un estimateur sans biais de $σ^{2}$ .

Corrigé

Par linéarité de l'espérance,

$E (T_{n}) = \frac{1}{n} i = 1 \sum n E ((X_{i} - m)^{2}) = \frac{1}{n} i = 1 \sum n V (X_{i}) = \frac{n σ ^{2}}{n} = σ^{2},$

puisque $E (X_{i}) = m$ et donc $E ((X_{i} - m)^{2}) = V (X_{i})$ par définition.

L'estimateur est sans biais.

Pourquoi « $m$ connue » compte. Si l'on remplaçait $m$ par $X_{n}$ , on obtiendrait la variance empirique $S_{n}^{2}$ , dont l'espérance vaut $\frac{n - 1}{n} σ^{2}$ : elle sous-estime légèrement. C'est la raison du fameux diviseur $n - 1$ employé ailleurs — hors programme ici, mais c'est l'origine de la nuance.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.