La variance de la moyenne empirique

L'espérance. Par linéarité, sans hypothèse d'indépendance : $$E\left(\overline{X_{64}}\right)=\frac{1}{64}\sum _{i=1}^{64}E(X_i)=\frac{64m}{64}=m.$$ La moyenne empirique est donc un estimateur sans biais de $m$.

La variance. Les variables d'un $n$-échantillon sont indépendantes, donc les variances s'ajoutent, et le facteur $\frac{1}{64}$ intervient au carré : $$V\left(\overline{X_{64}}\right)=\frac{1}{64^2}\times 64\times 16=\frac{16}{64}=0,25.$$

L'écart-type. $\sigma \left(\overline{X_{64}}\right)=\sqrt{0,25}=0,5$, contre $\sigma (X_1)=4$ pour une mesure isolée : la division est par $\sqrt{64}=8$.

Ce que cela promet. Comme $E(\overline{X_n})=m$ pour tout $n$ et $V(\overline{X_n})=\frac{16}{n}\to 0$, la condition suffisante du cours s'applique : $(\overline{X_n})$ est une suite convergente d'estimateurs de $m$. C'est la loi faible des grands nombres, lue du point de vue de l'estimation.